Mistura de batata-doce com cebola caramelizada, salsicha e ovos

Name: mistura de batata-doce com cebola caramelizada, salsicha e ovos
Ingredients: 900 gramas de cebola amarela (cerca de 2 grandes ou 4 pequenas); 4 colheres de sopa de manteiga sem sal, ghee ou azeite, divididos; Sal kosher; 400 gramas de lingüiça italiana crua ou chouriço mexicano, carcaças removidas; 1,3 kg de batata-doce com casca (cerca de 7,66 grandes ou 15 a 18 pequenos), cortada em pedaços centimétricos; 6 dentes grandes de alho picados; Folhas de 2 longos ramos de alecrim fresco, picados; Pimenta preta moída na hora; 8 ou mais ovos grandes; Sal kosher; Pimenta preta moída na hora; Queijo parmesão (opcional)